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线性变换矩阵

线性变换和线性变换矩阵

对于从 的线性变换 ,其本质上都是对于 的矩阵变换:.
那么,确定矩阵 的关键则是基于如下观察:线性变换 完全由它对
单位矩阵 的各列所做的变换决定。

举个例子:

假设向量 中的任一向量, 则相应的单位矩阵: ,
该单位矩阵的各列分别为: ,

那么,向量可以表示为如下形式:

因为为线性变换,满足乘加不变性,那么下面等式成立:

进一步写为矩阵形式:

然后,我们就得到变换矩阵了:

进一步推广到更高为维的向量空间,已知线性变换,如何得到唯一对应的变换矩阵

已知线性变换,那么存在唯一矩阵使得:

实际上,矩阵,其第列是向量单位矩阵的第列:

也就是说,如果已经知道了线性变换,则线性变换矩阵的每一列其实是由对应的单位矩阵中列作相同的线性变换后得到的向量。

Example

以平面向量的旋转作为例子。

假设线性变换是对中的点沿原点逆时针旋转角度,如下图所示:
A rotation transformation
则对应的旋转矩阵为?

Solution:
记住刚才说的,只需要关心单位矩阵的各列作旋转后得到新向量即可。
由上图可以清楚看到,做了旋转变换后,

因此一目了然,旋转矩阵为:

同理类推3维及更高维度空间的变换矩阵。对于OpenCV中经常使用3维旋转矩阵,也就能轻松看明白是咋的得来的了。